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  • alexandreperrier047

Le modèle ressort et le filtrage

Dernière mise à jour : 18 janv. 2023

L’effort de serrage est le paramètre fonctionnel des assemblages vissés précontraints.

Il permet de garantir :

- Le non-décollement des interfaces

- Le non-glissement des interfaces

- Le filtrage et la tenue dynamique

Au serrage la vis s’allonge et les pièces se compriment. On peut les modéliser par des ressorts élastiques.


Le modèle ressort

Prenons un boulon, on est capable de modéliser son comportement en traction par un ressort équivalent.

L’équation du ressort est donnée dans le graphique ci-dessous et permet de faire le lien entre l’effort qu’on applique sur un ressort et sa déformation.

La grandeur physique qui fait le lien entre l’effort et la déformation est la raideur du ressort notée K (N/mm). On peut aussi utiliser la souplesse (mm/N) qui est l’inverse de la raideur.

On l’a vu dans l’article sur la résistance dynamique, ce qui nous intéresse pour dimensionner une vis en dynamique c’est la variation de la contrainte dans la vis (ou variation d’effort vu par la vis, puisque la contrainte c’est l’effort divisé par la section résistante du filetage).

Quand on a un ressort seul sur lequel on applique une variation d’effort, cette variation d’effort est directement encaissée par le ressort.

Cela correspond à la situation ou on a un boulon non serré.

Ressorts en série

Lorsqu’on met deux ressorts en série (ressorts à la suite), l’ensemble a une souplesse équivalente à la somme de la souplesse des deux ressorts.

On peut ainsi avoir une nouvelle équation pour nos ressorts, avec la souplesse équivalente.

Ressorts en parallèle

Lorsqu’on met deux ressorts en parallèle (ressorts qui fonctionnent côte à côte), l’ensemble a une raideur équivalente a la somme des raideurs des deux ressorts.

On peut ainsi avoir une nouvelle équation pour nos ressorts, avec la souplesse équivalente aux deux ressorts qui fonctionnent ensemble.

Dans un système de 2 ressorts en parallèle, quand il y a une grosse différence de souplesse entre les deux ressorts c’est surtout le gros ressort qui fait la résistance à l’effort et donc qui encaisse les efforts ou plutôt les variations d’effort qui nous intéressent ici.

En serrant un boulon, on va créer un système de ressorts en parallèle :

- Le boulon est matérialisé par le ressort jaune

- Les pièces serrées sont matérialisées par le ressort bleu

Le boulon est environ 10 fois plus souple que les pièces serrées pour les assemblages métalliques courants. Ce sont principalement les pièces qui vont faire la résistance de l’ensemble à la déformation dues aux efforts extérieurs et donc ce sont les pièces qui vont encaisser une grande partie de la variation d’effort extérieur.

Le filtrage

Comme le boulon est serré, il a déjà un niveau d’effort qui n’est pas nul même s’il n’y a pas d’effort extérieur. Ce niveau d’effort est noté F0 sur le graphique.

Lorsque l’effort extérieur va varier (Fa), l’effort dans le boulon (Fb) va également varier mais avec un effet d’atténuation. On parle d’effet de filtrage des efforts extérieurs.

La pente de la droite de filtrage, appelée facteur de filtrage est notée lambda. Plus la pente est horizontale et plus le filtrage est bon.

Pour un assemblage métallique usuel, lambda est généralement inférieur à 0,1. C’est-à-dire que le boulon ne voit que 10% des variations d’efforts extérieurs.

Pour les curieux ou les sceptiques : je vous explique comment on obtient l’équation de la variation d’effort dans le boulon en fin d’article.

La limite du filtrage

Si l’effort extérieur augmente trop, le comportement change et on revient au comportement d’un assemblage non serré. En fait à partir d’un certain effort extérieur, il y a décollement des interfaces.

On verra comment dimensionner un assemblage au non-décollement dans un prochain article.


Règles de conception

Le filtrage est bon quand la vis est souple et que les pièces sont rigides.

Je ferai un guide des règles d’or de conception dans quelques temps.

Mais du coup, comment on calcule les souplesses du boulon et des pièces ?


Calcul des souplesses

Je ne vais pas non plus le détailler dans cet article, mais pour les curieux vous pouvez aller lire la norme NF E25 030 ou la recommandation VDI 2230 (versions anglaise ou allemande uniquement).


Equation du filtrage : démonstration

On a vu que pour un système de ressorts en parallèles, la souplesse équivalente aux deux ressorts a comme expression la formule donnée ci-dessous.

Quand on applique une variation d’effort extérieur on impose une déformation de notre ensemble de ressorts en parallèle.

Notons cette déformation Delta x et écrivons l’équation du ressort équivalent :





On a donc une expression pour le déplacement global Delta x.

Le boulon et les pièces sont tous deux soumis à ce déplacement Delta x.


On va donc pouvoir écrire l’équation du ressort dans la vis pour ce déplacement Delta x.





On remplace Delta x par l’expression obtenue plus haut. Ce qui donne :





Expression que l’on peut simplifier un peu en barrant la souplesse du boulon au numérateur et dénominateur.





On obtient donc l’expression recherchée, dans laquelle on identifie le fameux lambda, facteur de filtrage.






Synthèse

Lorsqu’on serre un boulon, on crée un système précontraint filtrant.

Le système équivalent est une mise en parallèle de deux ressorts :

- Un ressort « souple » pour la vis

- Un ressort « raide » pour les pièces


Les pièces sont en général 10 fois plus raides que les boulons.

Avec ce système, les variations d’efforts extérieurs sont atténuées et la vis n’en voit qu’une partie (<10%). On fait en sorte que cette partie soit inférieure à la contrainte dynamique admissible (+/- 50 N/mm²) dans la section résistante du filetage.

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